Statistikens natur och verkligheten

Statistik handlar i grunden om sannolikheter och om hur troligt det är att olika utfall inträffar. Föreställ dig att du tillbringar en dag på Belmont Park och bestämmer dig för att satsa på vinnaren i ett hästlopp. På oddsltavlan står Secretariat som favorit med oddset 1,5. Ju lägre oddset är, desto större bedöms sannolikheten vara att hästen vinner. Om du bettade 100 kronor på Sekretariat som vinnare, skulle du få tillbaka 150 kronor om Sekretartiat vann (vilket han gjorde).

Men innan du lägger din insats, ställ dig en enkel fråga: kan du vara helt säker på att Secretariat kommer att vinna?

Svaret är nej.

Varför? Därför att ingen kan kontrollera de otaliga slumpmässiga händelser som kan påverka loppets utgång. Secretariat kan bli orolig före start, vara lätt skadad, bli instängd bakom andra hästar eller helt enkelt ha en dålig dag. Alla dessa förutsättningar är stokastiska händelser – alltså slumpmässiga faktorer som varken kan förutsägas eller kontrolleras med fullständig säkerhet.

Statistik tar inte bort osäkerheten för att ett ufall sker. Däremot hjälper statistiken oss att bedöma osäkerheten och fatta så välgrundade beslut som möjligt utifrån den information som finns.

Ställ dig nu en annan fråga. Hur bestämmer en bookmaker att Secretariat ska ska tilldelas oddset 1,5? Svaret är enkelt: genom att analysera information som:

Genom att analysera sådan information minskar bookmakern osäkerheten. Utfallet kan aldrig förutsägas med fullständig säkerhet, men uppskattningarna blir tillräckligt träffsäkra för att verksamheten ska vara lönsam över tid.

Syftet med en undersökning är att beskriva rådande verklighet så korrekt som möjligt. Eftersom det sällan är praktiskt möjligt att undersöka varje individ i en population använder man noggrant utformade stickprov som representerar hela populationen. Kom ihåg att verkligheten finns oberoende av våra analyser – statistiken är vårt verktyg för att beskriva den så trovärdigt som möjligt.

Varför är upplägget av en undersökning viktigt?

Detta är kanske den viktigaste frågan att ta ställning till. Föreställ dig att du vill beräkna den genomsnittliga stamdiametern samt variationen kring medelvärdet för träden i ett skogsbestånd. Beståndet består av 204 träd, där varje träd tilldelas ett unikt nummer från 1 till 204. För att spara tid, gör du slumpmässigt urval över vilka trädstammar som skall mätas stickprov. Urvalet ska vara helt slumpmässigt – på samma slumpmässiga vis som när en vinnade sifferkombinationen numren som dras för Eurolotto. Varje träd ska ha exakt samma sannolikhet att bli utvalt.

Om stickprovsurvalet görs helt slumpmässigt har varje träd samma sannolikhet att ingå i stickprovet. Det innebär att det skattade medelvärdet i genomsnitt kommer att vara lika med populationens verkliga medelvärde. Statistiker brukar benämna sådana medelvärdesskattningar som väntevärdesriktiga. Om urvalet däremot görs utifrån subjektiva kriterier blir medelvärdesskattningen inte väntevärdesriktig. Anta till exempel att syftet är att uppskatta hur många kubikmeter virke en skogsavverkning kommer att ge, men att man endast mäter de “finaste” träden. Resultatet blir då en glädjekalkyl som systematiskt överskattar den verkliga virkesvolymen.

Nästa fråga är därför självklar: Hur många träd behöver vi mäta? Med andra ord, hur många slumpmässigt utvalda träd krävs för att ge en tillförlitlig skattning? Det leder oss vidare till nästa avsnitt.

Varför är antalet stickprov viktigt?

Hur många stickprover som behövs är en grundläggande del av planeringen av varje undersökning.

Svaret beror på vilken precision som krävs för att besvara frågan. Varje stickprov påverkas av slumpmässig variation, ofta kallad stokastiska effekter. Om antalet observationer är litet kan skattningar av exempelvis medelvärde, varians och till och med den observerade fördelningen variera kraftigt enbart på grund av slumpen. När stickprovsstorleken ökar får dessa slumpmässiga effekter allt mindre betydelse och skattningarna blir successivt mer precisa. Ofta behöver man göra en pilotstudie för att kunna beräkna hur många stickprov som behövs.

Ett enkelt sätt att illustrera detta är att upprepade gånger dra nya stickprov ur samma datamängd med återläggning (bootstrapping). Skattningar baserade på fem observationer varierar normalt betydligt mer än skattningar baserade på 30 eller 50 observationer. Ju större stickprov, desto stabilare blir resultaten.

Den viktiga frågan är därför inte hur många stickprover du råd till utan vilken precision du behöver för att kunna fatta ett välgrundat beslut. För få eller överdrivet många är att kasta pengarna i sjön.

Figur 1 visar hur ett ökande stickprovsantal successivt minskar den slumpmässiga variationens påverkan på de skattade parametrarna.

Figur 1  visar hur standardavvikelsen förändras när antalet stickprov ökar. Den viktigaste slutsatsen är att de stokastiska variationerna successivt minskar ju fler observationer som samlas in. Vid små stickprov (n < 30) riskerar att resultaten ge en missvisande bild av verkligheten. När variationen huvudsakligen håller sig emellan de streckade linjerna har skattningarna uppnått en precision som är tillräcklig för många praktiska tillämpningar. Standardavvikelsen beskriver hur stor variationen är kring ett medelvärde. Observera att slumpmässiga variationer fortfarande förekommer även vid mycket stora stickprov (n > 500), men influensen är betydligt mindre påtaglig.


Precision har ett pris

Ett större stickprov förbättrar precisionen i de skattade parametrarna, men det ökar också tiden och därmed kostnaden för insamlingen av data. Lyckligtvis ökar inte precisionen i samma takt som stickprovsstorleken. Figur 2 visar hur ett successivt större stickprov minskar den slumpmässiga variationens påverkan på de skattade parametrarna.

Figur  2  visar hur stickprovsstorleken påverkar medelfelet (SE), som är ett mått på precisionen i det skattade medelvärdet. Vid få observationer är medelfelet stort och skattningen av medelvärdet osäker. Precisionen förbättras däremot snabbt när stickprovsstorleken ökar. Kurvan följer ungefär ett omvänt samband: de första observationerna ger en stor förbättring, medan varje ytterligare observation bidrar allt mindre. Vid ungefär 50–100 observationer börjar förbättringen avta tydligt. Cirkeln markerar denna brytpunkt, där vinsten i precision måste vägas mot den ökade kostnaden för provtagningen. Som Figur 2 visar förbättras precisionen snabbt när stickprovsstorleken ökar från endast ett fåtal observationer. Därefter bidrar varje ytterligare stickprov allt mindre grad till förbättringen av skattningens precision. Den viktiga frågan är därför inte: Hur många stickprover har jag råd att till utan Hur stor osäkerhet kan jag acceptera. När precisionskravet väl uppnåtts, är ytterligare stickprov överflödiga. Det enda som ökar är kostnaden för undersökningen. I det här exemplet uppnås merparten av förbättringen med ungefär 50–100 observationer. Därefter blir konfidensintervallen endast marginellt smalare. Detta ska dock inte tolkas som en allmän rekommendation. Hur stort stickprov som behövs beror alltid på den naturliga variationen i den population som studeras och den precision som krävs för att stödja det slutliga beslutet.


Som framgår av Figur 2 förbättras precisionen snabbt när stickprovsstorleken ökar från endast ett fåtal observationer. Därefter bidrar varje ytterligare prov allt mindre till förbättringen i precisionen. I ekonomiska termer, brukar detta beskrivas som avtagande marginalnytta vilket innebär ett minskande utbyte på ren svenska.

Den viktiga frågan är därför inte hur många prover har jag råd att samla in, utan snarare hur stor osäkerhet kan jag acceptera. När precisionen stabiliseras kommer ytterligare stickprov tillföra marginella precisisionsförbättringar samtidigt som kostnaden ökar linjärt.

I det här exemplet uppnås merparten av förbättringen med ungefär 50–100 observationer. Därefter blir konfidensintervallen endast marginellt smalare. Detta ska dock inte tolkas som en generell rekommendation. Hur stort stickprov som krävs beror alltid på variationen i mätvariabeln samt precision som behövs för att ge ett tillförlitligt beslutsunderlag.

En annan viktig aspekt är vilken noggrannhet och precision som faktiskt krävs. För att göra det hela lite mer komplicerat används dessa ord ofta som synonymer i vanliga ordböcker. Inom statistik skiljer man däremot mellan deras betydelser. Noggrannhet beskriver hur nära ett uppmätt värde ligger det sanna värdet, medan precision beskriver hur väl upprepade mätningar eller stickprov överensstämmer.

Ett exempel skulle kunna vara frekvensen bland pacemakers. Små variationer i tillverkningsprocessen gör att de inte genererar exakt samma frekvens, men varje enskild pacemaker håller dess frekvens med hög precision. Figur 3 illustrerar samma princip, utifrån vad statistiker beskriver som slumpmässiga avvikelser från den förväntade sannolikheten.

Vi kan ta ett exempel från kasinot för att beskriva vad förväntade sannolikhet är. Låt säga att en roulettspelare har utvecklat en strategi där han satsar på rött efter att kulan har landat på svart fem gånger i följd. Kommer strategin att göra honom till en vinnare? Naturligtvis inte. Varför? Därför att varje snurr på roulettehjulet är helt oberoende av tidigare resultat. Stokastiska utfall har inget minne. På lång sikt kommer däremot utfallet att närma sig den verkliga sannolikheten för varje händelse. Om utfallet inte konvergerar mot den förväntade sannolikheten är förmodligen roulettbordet riggat.

Det är därför vi i praktiken aldrig får en perfekt överensstämmelse med en teoretisk förväntad sannolikhetsfördelning. Slumpen kommer alltid att skapa små avvikelser, men med ökande antal observationer (stickprov) kommer utfallen närma sig den förväntade sannolikhetsfördelningen.

Figur 3 beskriver samma fenomen men grafen visar istället hur ett stickprovsbaserade medelvärden närmar sig populationes sanna medelvärde med stigande antal stickprov.

Figur 3  visar hur precisionen i det skattade medelvärdet förbättras när antalet observationer ökar. Den grå linjen visar den skattade medelnivån, som successivt närmar sig populationens sanna medelvärde (den röda linjen). De stokastiska effekterna finns fortfarande kvar, men deras påverkan minskar i takt med att stickprovsstorleken ökar. Med viss välvilja kan man urskilja olika faser. Vid färre stickprov än 20 observationer kan det skattade medelvärdet avvika så mycket från det sanna värdet att det leder till felaktiga beslut. Att basera beslut på så små stickprov innebär därför en betydande risk. Vid stickprovsstorlekar på omkring 50–100 observationer blir skattningarna normalt tillräckligt tillförlitliga för många praktiska tillämpningar. Om syftet exempelvis är att avgöra om en förvaltningsåtgärd bör genomföras är denna precision ofta fullt tillräcklig. Om undersökningen däremot gäller säker dosering av ett läkemedel eller andra beslut där människoliv kan stå på spel kan 1 000 observationer eller fler krävas för att uppnå en tillräckligt säker slutsats. Observera slutligen att slumpmässiga urvalsfel fortfarande förekommer även vid mycket stora stickprov, även om deras betydelse då är avsevärt mindre. Utöver utökat antal stickprov bör man öka konfidensintervallet till 99 % vilket innebär att risken för ett felaktigt beslut kan minskas ytterligare. Om inte dessa alternativ att begränsa osäkerheten återstår bara att mäta hela populationen, vilket i många fall är ogörligt.


Att utforma studier som besvarar rätt fråga

Att samla in data är förhållandevis enkelt. Att samla in rätt data är betydligt svårare.

Innan man påbörjar en undersökning måste syftet med den vara tydligt definierat. Vilken fråga ska besvaras? Vilken precision krävs? Vilka variabler behöver mätas? Hur ska stickproven samlas in för att ge en rättvisande bild av verkligheten?

Figur 4   visar en normalfördelning baserad på standardiserade värden för en variabel av intresse. Vid standardisering placeras populationens medelvärde vid 0 (blå linje). Värden som ligger under medelvärdet blir negativa medan värden över medelvärdet blir positiva, utan att den ursprungliga variationen förändras. För att återgå till den ursprungliga skalan adderas helt enkelt det ursprungliga medelvärdet till de standardiserade värdena.Y-axeln visar sannolikheten att observera olika värden. Som framgår är värden nära medelvärdet betydligt vanligare – eller om man så vill, betydligt mer sannolika – än extrema värden. Den grå skuggade ytan omfattar praktiskt taget alla möjliga utfall. Att den inte omfattar exakt alla beror på en matematisk egenskap som kallas ett asymptotiskt förlopp. I teorin når normalfördelningens svansar aldrig exakt noll utan närmar sig den bara allt mer. I praktiken saknar detta betydelse eftersom sannolikheten att observera värden utanför svansarna är så liten att den i praktiken är obefintlig och därför inte påverkar beslutsfattandet.En annan viktig slutsats är att hela den grå ytan under kurvan representerar samtliga möjliga utfall. Den totala arean är därför lika med 1, vilket innebär att den totala sannolikheten är p = 1. Sannolikheter varierar alltid mellan 0 och 1, där 1 motsvarar ett säkert utfall och 0 ett omöjligt utfall. Sannolikheten att erhålla ett värde under medelvärdet (den blå linjen) är därför p = 0,5, vilket innebär att sannolikheten (1 − p = 0,5) att erhålla ett värde över medelvärdet också är 0,5. När sannolikhetsfördelningen väl är förstådd blir det lättare att se hur statistiken kan minska osäkerheten och ge ett bättre underlag för beslut. De röda skuggade svansarna utgör endast 1 % av hela sannolikhetsfördelningen (p = 0,01). Sannolikheten att en observation hamnar i den vänstra svansen är därför endast p = 0,005, och det samma gäller naturligtvis den högra svansen. De svarta streckade linjerna markerar olika konfidensnivåer som används för att minska osäkerheten i beslutsfattandet. Om man accepterar en konfidensnivå på 68,3 % innebär det samtidigt att man accepterar en sannolikhet på 31,7 % att stickprovet, på grund av stokastiska effekter, inte speglar populationens verkliga tillstånd. Om beslutet bygger på en sådan felaktig skattning blir också beslutet felaktigt.


Konfidensintervallens används för att ange sannolikheten att en skattning ligger inom säkerhetsintervallet. För att beräkna ett konfidensintervall behöver man först beräkna standardfelet (Standard Error) som beskriver precisionen i en skattning.(se Figur 2). De vanligaste konfidensnivåerna för statistiska slutsatser är 90 %, 95 % och 99 %, vilka ger reducerar riskernna till 10 %, 5% respektive 1%. Ju större konfidensnivå, desto mindre osäkerhet återstår i beslutsunderlaget.

Korrelation, kausalitet och sunt förnuft

Att hitta ett statistiskt samband mellan två variabler innebär inte nödvändigtvis att den ena orsakar den andra. Försäljningen av glass och antalet drunkningsolyckor ökar båda under sommaren, men att köpa glass får inte människor att drunkna. De har helt enkelt en gemensam bakomliggande orsak – varmt väder.

Statistiken kan hjälpa oss att identifiera och kvantifiera samband, men sunt förnuft och god ämneskunskap krävs för att tolka dem korrekt. Därför bör statistiska analyser alltid bedömas tillsammans med kunskap om det system eller den process som studeras.

Siffror ensamma berättar sällan hela historien. Tillförlitliga slutsatser bygger på en kombination av lämpliga statistiska metoder, kritiskt tänkande och en förståelse för de processer som har skapat de insamlade data.

Avslutande reflektioner

Statistik uppfattas ofta som en samling matematiska metoder. I själva verket är det ett verktyg för att minska osäkerhet och fatta bättre beslut. Ett väl genomfört statistiskt arbete börjar långt innan den första analysen utförs. Det börjar med att ställa rätt frågor, utforma en genomtänkt undersökning, samla in representativa data och inse att en viss osäkerhet alltid kommer att finnas kvar.

Statistiska metoder skapar inte säkerhet, men när de används på rätt sätt ger de det mest tillförlitliga underlaget för välgrundade beslut. Därför är det avgörande att samla in data som verkligen bidrar till att besvara den fråga som undersökningen syftar till.