La naturaleza de la estadística y la realidad

La estadística trata, en esencia, de probabilidades y de la posibilidad de que ocurran distintos resultados. Imagine que pasa un día en el hipódromo de Belmont Park y decide apostar por el ganador de una carrera de caballos. El panel de apuestas indica que Secretariat es el favorito con una cuota de 1,5. Cuanto más baja es la cuota, mayor es la probabilidad que los apostadores atribuyen a su victoria. Si apuesta 100 dólares y gana, recibirá 150.

Pero antes de hacer la apuesta, hágase una pregunta muy sencilla: ¿puede estar completamente seguro de que Secretariat ganará?

La respuesta es ¡no!.

¿Por qué? Porque nadie puede controlar los innumerables acontecimientos aleatorios que pueden influir en el resultado. Secretariat puede ponerse nervioso antes de la salida, sufrir una pequeña lesión, quedar encerrado entre otros caballos o, sencillamente, tener un mal día. Todos estos son acontecimientos estocásticos: sucesos aleatorios que no pueden predecirse ni controlarse con absoluta certeza.

La estadística no elimina la incertidumbre. Lo que hace es cuantificarla y ayudarnos a tomar las mejores decisiones posibles con la información disponible.

Ahora hágase otra pregunta: ¿cómo decide un corredor de apuestas que Secretariat debe tener una cuota de 1,5? La respuesta es sencilla: analizando información.

Al analizar toda esta información, el corredor de apuestas reduce la incertidumbre. No puede predecir el resultado con total seguridad, pero sí realizar estimaciones suficientemente fiables para mantener su negocio rentable a largo plazo.

El objetivo de cualquier estudio es describir la realidad con la mayor precisión posible. Como rara vez es viable observar todos los individuos de una población, recurrimos a muestras cuidadosamente diseñadas para representarla. No debemos olvidar que la realidad existe; la estadística es simplemente nuestra mejor herramienta para describirla de la forma más fiel posible.

¿Por qué es importante el diseño del muestreo?

Este es, probablemente, el aspecto más importante que debe considerarse. Imagine que desea estimar el diámetro medio de los troncos de todos los árboles de una masa forestal. El rodal contiene 204 árboles, cada uno de los cuales podría identificarse con un número único del 1 al 204. En lugar de medirlos todos, podemos seleccionar una muestra aleatoria. La selección debe ser completamente aleatoria, igual que los números de un sorteo de lotería. Todos los árboles deben tener exactamente la misma probabilidad de ser seleccionados.

La siguiente pregunta es evidente: ¿cuántos árboles debemos medir? Es decir, ¿cuántos árboles seleccionados al azar son necesarios para obtener una estimación fiable? Esa cuestión nos lleva al siguiente apartado.

¿Por qué es importante el tamaño de la muestra?

Determinar cuántas muestras son necesarias constituye una parte fundamental del diseño de cualquier estudio.

La respuesta depende del nivel de precisión requerido para responder a la pregunta planteada. Toda muestra está influida por la variación aleatoria, conocida en estadística como efectos estocásticos. Cuando el número de observaciones es reducido, estimaciones como la media, la varianza e incluso la forma aparente de la distribución pueden variar considerablemente simplemente por azar. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, estos efectos aleatorios pierden influencia y las estimaciones se vuelven cada vez más precisas.

Una forma sencilla de ilustrarlo consiste en volver a muestrear repetidamente el mismo conjunto de datos con reemplazo (bootstrapping). Las estimaciones obtenidas a partir de una muestra de cinco observaciones suelen mostrar una variabilidad mucho mayor que las obtenidas con veinte o cincuenta observaciones. Cuanto mayor es la muestra, más estables se vuelven las estimaciones.

Por tanto, la pregunta realmente importante no es: ¿Cuántas muestras puedo recoger, sino ¿Qué nivel de precisión necesito para respaldar la decisión que debo tomar?

La Figura 1 muestra cómo el aumento progresivo del tamaño de la muestra reduce la influencia de la variación aleatoria sobre los parámetros estimados.

Figura 1  muestra cómo evoluciona la desviación estándar a medida que aumenta el número de muestras. La idea principal es que las fluctuaciones estocásticas disminuyen conforme crece el tamaño de la muestra. Con muestras pequeñas (n < 30), los resultados pueden no representar la realidad de forma convincente. Cuando las oscilaciones permanecen dentro de las líneas discontinuas, las estimaciones alcanzan un nivel de precisión aceptable para muchas aplicaciones. La desviación estándar proporciona una medida de la precisión de los parámetros estimados. Observe que incluso con tamaños de muestra muy grandes (n > 500) siguen existiendo fluctuaciones aleatorias, aunque su influencia es mucho menor. Este ejemplo se basa en una población de 10 000 000 de individuos, de la que únicamente se extrajeron 2 000 muestras, es decir, tan solo el 0,0002 % de la población total. Si realmente se quisiera describir la realidad con una precisión muy elevada, sería necesario aumentar considerablemente el tamaño de la muestra para reducir aún más la influencia de los efectos estocásticos y obtener estimaciones más precisas.


La precisión tiene un coste

Aumentar el tamaño de la muestra mejora la precisión de los parámetros estimados, pero también incrementa el tiempo y el coste necesarios para recopilar los datos. Afortunadamente, la mejora de la precisión no aumenta en la misma proporción que el tamaño de la muestra. La Figura 2 muestra cómo el aumento progresivo del número de observaciones reduce la influencia de la variación aleatoria sobre los parámetros estimados.

Figura 2  muestra el efecto del tamaño de la muestra sobre el error estándar (EE), una medida de la precisión de la media estimada. Cuando el número de observaciones es reducido, el error estándar es elevado y la estimación de la media resulta poco precisa. Sin embargo, la precisión mejora rápidamente al aumentar el tamaño de la muestra. La curva sigue aproximadamente una relación inversa: las primeras observaciones aportan una mejora considerable, mientras que cada nueva observación contribuye progresivamente menos. Entre aproximadamente 50 y 100 observaciones, la mejora comienza a disminuir de forma evidente. El círculo señala este punto de inflexión, donde el aumento de la precisión debe compararse con el coste adicional del muestreo. Como muestra la Figura 2, la precisión mejora rápidamente cuando se pasa de unas pocas observaciones a un tamaño de muestra mayor. A partir de cierto punto, sin embargo, cada muestra adicional contribuye cada vez menos a la precisión total. Este fenómeno se conoce como rendimientos decrecientes. Por tanto, la pregunta importante no es ¿Cuántas muestras puedo permitirme?, sino ¿Cuánta incertidumbre puedo aceptar?. Una vez alcanzado el nivel de precisión necesario, recoger más muestras puede aportar poca información útil y, al mismo tiempo, aumentar considerablemente el coste del estudio.


Como se muestra en la Figura 2, la precisión mejora rápidamente cuando el tamaño de la muestra aumenta desde unas pocas observaciones. Sin embargo, a partir de cierto punto, cada nueva observación aporta cada vez menos a la precisión total. Este fenómeno se conoce como el punto de rendimientos decrecientes.

Por lo tanto, la pregunta importante no es cuántas muestras puede permitirse recoger, sino cuánta incertidumbre está dispuesto a aceptar. La respuesta es un equilibrio entre lo que necesita y lo que puede permitirse. Con tamaños de muestra de 500 observaciones o más, la reducción adicional de la incertidumbre es muy pequeña y el coste adicional apenas compensa el beneficio.

En el ejemplo mostrado en la Figura 2, la mayor parte de la mejora en la precisión se consigue con aproximadamente entre 50 y 100 observaciones. A partir de ese punto, los intervalos de confianza solo se estrechan ligeramente. Sin embargo, esto no debe interpretarse como una recomendación universal. El tamaño de muestra necesario siempre depende de la variabilidad natural de la población estudiada y del nivel de precisión requerido para respaldar la decisión final. A partir de la varianza estimada con una muestra piloto, y definiendo el nivel de incertidumbre que está dispuesto a aceptar, es posible calcular el número de observaciones necesarias para alcanzar la precisión deseada.

Otro aspecto importante es distinguir entre exactitud y precisión. Para complicar un poco las cosas, muchos diccionarios consideran que ambos términos son sinónimos. Sin embargo, en estadística resulta útil diferenciarlos. La exactitud describe lo cerca que se encuentra una medición de su valor verdadero, mientras que la precisión indica la consistencia de los resultados cuando una medición se repite varias veces.

Un ejemplo sencillo sería la frecuencia de pulso de los marcapasos. Un pequeño defecto en el proceso de fabricación puede hacer que distintos marcapasos funcionen a frecuencias ligeramente diferentes. Sin embargo, cada uno de ellos mantiene su propia frecuencia con gran exactitud. La Figura 3 ilustra este concepto mediante lo que los estadísticos denominan procesos estocásticos, es decir, desviaciones aleatorias respecto a las probabilidades esperadas.

Figura 3  muestra la precisión de la media estimada de una población a partir de una muestra y cómo esta mejora al aumentar el número de observaciones. La línea gris representa la media estimada, que converge progresivamente hacia la media verdadera de la población (línea roja). Los efectos estocásticos siguen presentes, pero su influencia disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Con cierta flexibilidad pueden distinguirse cuatro etapas. Con menos de unas 20 observaciones, la media muestral puede diferir considerablemente de la realidad y conducir a decisiones erróneas. Basar una decisión en muestras tan pequeñas implica un riesgo elevado. Con tamaños de muestra comprendidos entre aproximadamente 50 y 100 observaciones, las estimaciones suelen ser suficientemente fiables para muchas aplicaciones. Por ejemplo, si el objetivo es decidir si deben aplicarse medidas de gestión, este nivel de precisión suele ser adecuado. Sin embargo, si el estudio pretende determinar la dosis segura de un medicamento o evaluar riesgos potencialmente mortales, podrían ser necesarias 1.000 observaciones o incluso más para alcanzar un nivel aceptable de confianza.


Si tomemos un ejemplo de un casino. Un jugador de ruleta decide apostar siempre al rojo después de que la bola haya caído cinco veces seguidas en negro. ¿Conseguirá ganar con esa estrategia? Por supuesto que no. ¿Por qué? Porque cada giro de la ruleta es completamente independiente de los anteriores. Si, por simplicidad, ignoramos la casilla verde, la probabilidad de obtener rojo o negro sigue siendo del cincuenta por ciento en cada tirada. Los procesos estocásticos no modifican esas probabilidades, por lo que la probabilidad permanece igual en cada giro. Sin embargo, de acuerdo con la ley de los grandes números, a medida que aumenta el número de tiradas, la probabilidad observada acabará aproximándose cada vez más a la probabilidad esperada.

Por último, obsérvese que las fluctuaciones debidas al muestreo siguen existiendo incluso con tamaños de muestra muy grandes, aunque su influencia es mucho menor. Si este grado de precisión sigue siendo insuficiente, la única solución consiste en medir toda la población.

Diseñar estudios que respondan a la pregunta correcta

Recoger datos es relativamente fácil, pero para recoger los datos adecuados es más difícil.

Antes de realizar una sola observación, el objetivo del estudio debe estar claramente definido. ¿Qué pregunta debe responderse? ¿Qué nivel de precisión se requiere? ¿Qué variables deben medirse? ¿Cómo deben recogerse las muestras para proporcionar una representación imparcial de la realidad?

Figure 4  muestra una distribución normal basada en los valores estandarizados de una variable de interés. La media se sitúa, por tanto, en 0 (línea azul). Los valores inferiores a la media pasan a ser negativos y los valores superiores a la media pasan a ser positivos, mientras que la variación original de los datos permanece inalterada. Los valores originales pueden recuperarse fácilmente sumando la media original a los valores estandarizados.El eje Y representa la probabilidad de observar distintos valores. Las observaciones cercanas a la media son las más probables, mientras que los valores cada vez más extremos son progresivamente menos probables. El área sombreada en gris representa prácticamente todos los resultados posibles. Matemáticamente, las colas de la distribución nunca llegan realmente a cero, sino que se aproximan a él de forma asintótica. Esto no es una debilidad de la estadística. En la práctica, las probabilidades en las colas extremas llegan a ser tan pequeñas que no tienen ninguna influencia en la toma de decisiones del mundo real.Una propiedad igualmente importante es que toda el área sombreada en gris representa todos los resultados posibles; por lo tanto, la probabilidad total es igual a 1. En consecuencia, la probabilidad de observar un valor inferior a la media es de 0,5, mientras que la probabilidad de observar un valor superior a la media también es de 0,5. Una vez comprendida la distribución de las probabilidades, podemos entender los límites de confianza. Las colas sombreadas en rojo contienen conjuntamente solo el 1 % de la probabilidad total (p = 0,01), dejando el 99 % dentro de la parte central de la distribución. Como la distribución es simétrica, cada cola contiene una probabilidad de solo 0,005. Las líneas negras discontinuas indican los límites de confianza más utilizados. Son herramientas para reducir la incertidumbre en la toma de decisiones. Un límite de confianza del 68,3 % corresponde a una desviación estándar (SD). Para calcular los límites de confianza se necesita el error estándar (SE) de la estimación de la media. Este estadístico indica la precisión de la estimación de la media y se utiliza principalmente para cuantificar la precisión de una media estimada (véase la Figura 2). Puede calcular cualquier límite de confianza que desee, aunque el 90 %, el 95 % y el 99 % son las alternativas más habituales, donde la incertidumbre se reduce al 10 %, 5 % y 1 %, respectivamente. Su tarea consiste en evaluar el riesgo asociado a tomar una decisión equivocada.


Correlación, causalidad y sentido común

Encontrar una relación estadística entre dos variables no significa necesariamente que una sea la causa de la otra. Las ventas de helados y los accidentes por ahogamiento aumentan durante el verano, pero comprar un helado no provoca que las personas se ahoguen. Ambas variables simplemente comparten una causa común: el clima cálido.

La estadística puede ayudar a identificar y cuantificar relaciones, pero es imprescindible complementarla con sentido común y un conocimiento sólido del tema para interpretarlas correctamente. Por ello, los resultados estadísticos siempre deben evaluarse junto con el conocimiento científico o técnico del sistema que se está estudiando.

Los números, por sí solos, rara vez cuentan toda la historia. Las conclusiones fiables se obtienen combinando métodos estadísticos adecuados con pensamiento crítico y una comprensión de los procesos que generan los datos.

Reflexiones finales

La estadística suele percibirse como un conjunto de técnicas matemáticas. En realidad, es una herramienta para reducir la incertidumbre y tomar decisiones mejor fundamentadas. Un buen análisis estadístico comienza mucho antes de aplicar el primer método. Empieza formulando las preguntas correctas, diseñando un estudio adecuado, recopilando datos representativos y reconociendo la incertidumbre que siempre estará presente.

Los métodos estadísticos no crean certezas, pero cuando se aplican correctamente proporcionan la base más sólida para tomar decisiones bien fundamentadas. Por ello, recopilar datos que realmente ayuden a responder la pregunta planteada es de importancia fundamental.